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外观

Linear Algebra「线性代数」

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2025-09-17

MIT Course 18.06 Linear Algebra 是麻省理工学院开设的一门线性代数课程，课程内容涵盖了线性代数的基础知识和应用，包括矩阵运算、向量空间、特征值和特征向量等。该课程由 Gilbert Strang 教授讲授，他是线性代数领域的权威专家，课程内容深入浅出，适合初学者和有一定基础的学习者。

Chap01 - 方程组的几何解释

假如有以下方程组：

{2x−y=0−x+2y=3\begin{cases}2x-y=0\\-x+2y=3&\end{cases}

我们可以把它写成矩阵的形式：

[2−1−12][xy]=[03]\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}

换一种理解方式，我们可以把它们看成是二维空间中的两个列向量 col1→=(2,−1)\overrightarrow{col_{1}}=(2,-1) 和 col2→=(−1,2)\overrightarrow{col_{2}}=(-1,2) ，对于列向量 [2−1]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} 和 [−12]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix} ，方程组就可以看成是这两个向量的「线性组合 linear combination 」，等于 [03]\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}，也就是

x[2−1]+y[−12]=[03]x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}

行向量的线性组合

国内教程多使用行向量进行计算，即 [2−1−12][xy]=[ab]\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} 行向量的线性组合表示为 2x−y=a2x-y=a，−x+2y=b-x+2y=b，这样的表示方式在计算机科学中更为常见，而在数学领域则更倾向于使用列向量进行表示。

我们把系数矩阵 [2−1−12]\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix} 记为 AA ，未知数向量 [xy]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} 记为 x\mathbf{x} ，常数向量 [03]\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix} 记为 b\mathbf{b}，那么方程组就可以写成：

Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}

Chap02 - 矩阵消元